Exercícios Resolvidos
Segue abaixo dois exercícios de paralelepípedo que caíram no Enem:1) (Enem 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza:
a) massa
b) volume
c) superfície
d) capacidade
e) comprimento
2) (Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 12 cm
d) 24 cm
e) 25 cm
Resposta:
1 - Letra B, pois o volume do paralelepípedo é dado pela fórmula da área da base x altura: V = a.b.c
2 -
Resolução
Para encontrar o volume da barra de chocolate aplica-se a fórmula do volume do paralelepípedo:
V = a.b.c
V = 3.18.4
V = 216 cm3
Já o volume do cubo é calculado pela fórmula: V = a3 donde “a” corresponde as arestas da figura:
Logo,
a3 = 216
a = 3√216
a = 6cm
Resposta: Letra B
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A Geometria Espacial corresponde a área da matemática que se encarrega de estudar as figuras no espaço, ou seja, aquelas que possuem mais de duas dimensões.
De modo geral, a Geometria Espacial pode ser definida como o estudo da geometria no espaço.
Assim, tal qual a Geometria Plana, ela está pautada nos conceitos basilares e intuitivos que chamamos “conceitos primitivos” os quais possuem origem na Grécia Antiga e na Mesopotâmia (cerca de 1000 anos a.C.).
Pitágoras e Platão associavam o estudo da Geometria Espacial ao estudo da Metafísica e da religião; contudo, foi Euclides a se consagrar com sua obra “Elementos”, onde sintetizou os conhecimentos acerca do tema até os seus dias.
Entretanto, os estudos de Geometria Espacial permaneceram estanques até o fim da Idade Média, quando Leonardo Fibonacci (1170-1240) escreve a “Practica Geometriae”.
Séculos depois, Joannes Kepler (1571-1630) rotula o “Steometria” (stereo: volume/metria: medida) o cálculo de volume, em 1615.
Características da Geometria Espacial
A Geometria Espacial estuda os objetos que possuem mais de uma dimensão e ocupam lugar no espaço. Por sua vez, esses objetos são conhecidos como "sólidos geométricos" ou "figuras geométricas espaciais". Conheça melhor alguns deles:Dessa forma, a geometria espacial é capaz de determinar, por meio de cálculos matemáticos, o volume destes mesmos objetos, ou seja, o espaço ocupado por eles.
Contudo, o estudo das estruturas das figuras espaciais e suas inter-relações é determinado por alguns conceitos básicos, a saber:
- Ponto: conceito fundamental a todos os subsequentes, uma vez que todos sejam, em última análise, formados por inúmeros pontos. Por sua vez, os pontos são infinitos e não possuem dimensão mensurável (adimensional). Portanto, sua única propriedade garantida é sua localização.
- Reta: composta por pontos, é infinita nos dois lados e determina a distância mais curta entre dois pontos determinados.
- Linha: possui algumas semelhanças com a reta, pois é igualmente infinita para cada lado, contudo, têm a propriedade de formar curvas e nós sobre si mesma.
- Plano: é outra estrutura infinita que se estende em todas as direções.
Figuras Geométricas Espaciais
Segue abaixo algumas das figuras geométricas espaciais mais conhecidas:Cubo
Área lateral: 4a2
Área total: 6a2
Volume: a.a.a = a3
Dodecaedro
Área Total: 3√25+10√5a2
Volume: 1/4 (15+7√5) a3
Tetraedro
Área total: 4a2√3/4
Volume: 1/3 Ab.h
Octaedro
Área total: 2a2√3
Volume: 1/3 a3√2
Icosaedro
Área total: 5√3a2
Volume: 5/12 (3+√5) a3
Prisma
Além das faces o prima é composto de altura, lados, vértices e arestas unidos por paralelogramos. De acordo com sua inclinação, os prismas podem ser retos, aqueles em que a aresta e a base fazem um ângulo de 90º ou os oblíquos compostos de ângulos diferentes de 90º.
Área da Face: a.h
Área Lateral: 6.a.h
Área da base: 3.a3√3/2
Volume: Ab.h
Onde:
Ab: Área da base
h: altura
Veja também o artigo: Volume do Prisma.
Pirâmide
Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base. Quanto à sua inclinação podem ser classificadas em retas (ângulo de 90º) ou oblíquas (ângulos diferentes de 90º).
Área total: Al + Ab
Volume: 1/3 Ab.h
Onde:
Al: Área lateral
Ab: Área da base
h: altura
Curiosidades
- A palavra "geometria" vem do grego e corresponde a união dos termos "geo" de terra e "metria" de medida, que significa "medir terra."
- Os cálculos mais comuns em Geometria espacial são para determinar o comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas.
- Outras figuras geométricas espaciais: cilindro, cone, esfera.
- Os "Sólidos Platônicos" são poliedros convexos conhecidos desde a antiguidade clássica. Os cinco "sólidos platônicos" são: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro.
- O cubo é uma figura que faz parte da geometria espacial. É caracterizado como um poliedro (hexaedro) regular ou ainda, um paralelepípedo retângulo com todas as faces e arestas congruentes e perpendiculares (a = b = c).
Tal como o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro é considerado um dos “Sólidos de Platão” (sólidos formados por faces, arestas e vértices).
Saiba mais em: Geometria Espacial
Composição do Cubo
O cubo é formado por 12 arestas (segmentos de retas) congruentes, 6 faces quadrangulares e 8 vértices (pontos).
Diagonais do Cubo
As linhas diagonais são segmentos de reta entre dois vértices e, no caso do cubo tem-se:
Diagonal Lateral: d = a√2
Diagonal do Cubo: d = a√3
Área do Cubo
A área corresponde a quantidade de espaço (superfície) necessária para determinado objeto.
Nesse caso, para calcular a área total do cubo, que possui 6 faces, utilizamos a seguinte fórmula:
At = 6a2
Sendo,
At: área total
a: aresta
Para tanto, a área lateral do cubo, ou seja, a soma das áreas dos quatro quadrados que formam esse poliedro regular, é calculada a partir da fórmula abaixo:
Al = 4a2
Sendo,
Al: área lateral
a: aresta
Além disso, é possível calcular a área da base do cubo, dada pela fórmula:
Ab = a2
Sendo,
Ab: área da base
a: aresta
Leia mais em Área do Cubo.
Volume do Cubo
O volume de uma figura geométrica corresponde ao espaço ocupado por determinado objeto. Assim, para calcular o volume do cubo utiliza-se a fórmula:
V = a3
Sendo,
V: volume do cubo
a: aresta
Leia também: Volume do Cubo.
Exercícios Resolvidos
1) A área total de um cubo é 54 cm². Qual a medida da diagonal desse cubo?
Para calcular a área do cubo utiliza-se a fórmula:
At = 6a²
54 = 6a²
54 /6 = a²
a = √9
a = 3 cm
Logo, a aresta mede 3 cm. Por conseguinte, para calcular a diagonal do cubo, utiliza-se a fórmula:
dc = a√3
dc = 3√3cm²
Assim, o cubo de área 54 cm², possui diagonal de 3√3cm².
2) Se a diagonal de um cubo mede √75 cm, qual a área total desse cubo?
Para calcular a diagonal do cubo, utilizamos:
d = a√3
√75 = a√3 (fatorar o 75 que está dentro da raiz)
5√3 = a√3
a = (5√3) / √3
a = 5 cm
Assim, as arestas desse cubo medem 5cm; para calcular a área do cubo, tem-se:
At = 6a²
At = 6 x 5²
At = 150 cm²
Logo, a área total do cubo de diagonal √75 cm é de 150 cm².
3) Se a soma das arestas de um cubo é 84 cm, qual o volume do cubo?
Primeiramente, é importante lembrar que o cubo possui 12 arestas, e que o volume é dado em centímetros cúbicos, logo:
84 cm/12 = 7
V = 73
V = 343 cm3
Portanto, o volume do cubo de arestas de 84 cm, é de 343 cm3.
